Fundamentos matematicos¶

Esta seccion explica el "por que" con un enfoque simple. Si quieres recetas, ve a Tutoriales. Si buscas formulas completas, continua aqui.

Huber M-Estimator¶

Idea simple: la media clasica da demasiado peso a valores extremos. Huber mantiene el centro estable y aplica un freno gradual a los outliers.

Ejemplo rapido:

[10, 12, 11, 15, 10, 1000]

La media sube demasiado, pero Huber se mantiene cerca del centro.

Definicion:

\[ \rho_k(r) = \begin{cases} \frac{1}{2} r^2 & \text{si } |r| \le k \\ k\left(|r| - \frac{1}{2} k\right) & \text{si } |r| > k \end{cases} \]

Interpretacion: - Cerca del centro, se comporta como la media (cuadratica). - En las colas, se vuelve lineal para reducir el impacto.

MAD mide dispersion alrededor de la mediana. Para comparar con desviacion estandar, se escala asi:

\[ \sigma_{robust} = MAD \times 1.4826 \]

Esto lo hace comparable bajo distribuciones normales.

En lugar de la media, se usa la mediana para evitar inflar la variabilidad:

\[ CV_r = \left(\frac{\sigma_{robust}}{|\tilde{x}|}\right) \times 100 \]

Para un conjunto ordenado \(x_{(1)} \le \dots \le x_{(n)}\), los cuantiles siguen reglas definidas por \(p_k\) y por los parametros \((a, b)\):

\[ p_k = \frac{k - a}{n + b} \]

La interpolacion lineal se aplica entre \(x_{(j)}\) y \(x_{(j+1)}\) cuando \(p\) cae entre posiciones. StatGuard implementa los 9 tipos usados por R.

Tipo	\(p_k\)	\(a\)	\(b\)	Nota
1	\(k / n\)	0	0	Inversa de la CDF empirica (discontinua).
2	\(k / n\)	0	0	Promedia en discontinuidades.
3	\((k - 0.5) / n\)	-0.5	0	Estadistico de orden mas cercano.
4	\(k / n\)	0	1	Interpolacion lineal de CDF.
5	\((k - 0.5) / n\)	0.5	0.5	Hazen (1914).
6	\(k / (n + 1)\)	0	1	Weibull (1939).
7	\((k - 1) / (n - 1)\)	1	1	Default de R, modo de \(F(x)\).
8	\((k - 1/3) / (n + 1/3)\)	1/3	1/3	Mediana-no-sesgada.
9	\((k - 3/8) / (n + 1/4)\)	3/8	3/8	Normal-no-sesgada.

Success

Si no sabes cual usar, el tipo 7 es el comportamiento por defecto de R.